Symbolika i funkcje liczb w literaturze

Roma 10 ełk

Temat: Uparty orzeÂł !


TEMPVS wrote:
[...]
| jeszcze niedawno pisales ze 0+ nie jest liczba, teraz zmieniasz to na
| to, ze nie jest liczba
| rzeczywista, ale jednak liczba jest...

Nie jest liczbą w ciele liczb rzeczywistych, cały czas używałem liczb
rzeczywistych, pisałem, że jeśli twierdzisz iż na pewno 0 jest różne od
0+ to 0+ może być liczbą niewłaściwą (czyli symbol do oznaczania, że
wynik nie jest liczbą rzeczywistą). Jeśli gdzies w jakimś zdaniu nie
napisałem "liczbą rzeczywistą" lecz "liczbą", a ty na podstawie akurat
tej wypowiedzi wyciągnąłeś wniosek, że nie operuję w ciele liczb
rzeczywistych, to przepraszam.

| Pokazałem ci przecież,
| że jeśli 0+ przyjmiesz jako granicę 1/n,

| a to skad wziales? dlaczego granica 1/n ma byc 0+? na jakiej podstawie?

To ty pisałeś, że ciąg 1/n dla n-+oo nigdy nie osiąga zera i że zawsze
różni się od niego o nieskończenie małą wartość 0+ a ja twierdziłem, że
w nieskończoności się nie różni.


a czy ty twierdzisz inaczej? ze ciag 1/n dla n-+oo osiąga 0 ?
ja twierdze ze KAZDY wyraz tego ciagu jest dodatni


Skoro 1/n różni się w nieskończoności
od zera o 0+ to jaką ma w nieskończoności wartość? przecież nie 0, bo
"różni się od zera".
Piotr Baranowski rad_n(at)wp.pl


a co do granicy to mowilem zebys doczytal...
wiesz co to jest granica? moze od wyjasnienia tak elementarnych pojec trzeba zaczac, i to bardzo
obrazowo

granica jest to taka liczba, ktorej jakis ciag, funkcja, etc... nigdy nie przekracza (z gory badz z
dolu, [w przypadki wiecej niz jednej zmeinnej sprawa sie troche komplikuje...] ale jest ona [ w
jakis sposob] nieprzekraczalna)

lim n-oo a+1/n = 1; a , n i limes sa liczbami rzeczywistymi!
prawie wszystkie wyrazy ciagu nie wykraczaja poza
< a - eps, a + eps dla kazdego eps0

nie ma tu mowy o zadnej nierzeczywistej granicy a+ czy a-

na wszelki wypadek odsylam do literatury
http://www.math.wisc.edu/~keisler/chapter_3.pdf
rozdzial 3.3 - Granice
strona 117

tam jest to wyraznie zaznaczone


Źródło: topranking.pl/1842/uparty,orzeC2l.php


Temat: Nieskończoność.
Damian vel EINHERJER:


Czy ktoś mógłby mi powiedzieć w jaki sposób są
zdefiniowane (o ile oczywiście) w matematyce
następujące działania:

oo * oo
oo - oo
oo + 1
oo / oo
oo * 1
oo * 0
0 / oo

etc.


Madrze dodales w nawiasach "o ile".

Symbol  oo  w roznych tekstach matematycznych
znaczy rozne rzeczy. Na przyklad w geometrii
rzutowej rozpatrujemy prosta rzutowa:

    PR  :=  R cup {oo}

otrzymana z ciala liczb rzeczywistych  R  przez
dodanie jedengo wiecej elementu (punktu), ktory
oznaczamy symbolem  oo.  Wedlug geometrii rzutowej
wszystkie punkty prostej  PR  sa takie same.
W szczegolnosci  oo  niczym nie rozni sie od punktow
 -17  -6  -1  0  1/3  299/13 ...

Na ogol w teorii funkcji zmiennej zespolonej
cialo liczb zespolonych  C  uzupelnia sie jednym
wiecej punktem  oo,  znowu uzyskujac prosta rzutowa
 PC,  ale tym razem ta prosta ma wymiar rzeczywisty 2,
i wyglada (mona wrecz powiedziec, ze jest) jak
2-wymiarowa sfera.

Z drugiej strony w opewnych rozwazaniach w Analizie
Matematycznej wprowadza sie  oo = +oo  oraz  -oo.

Jest jasnym, ze znaczenie  oo  w Analizie jest
inne niz w geometrii rzutowej lub w teorii
funkcji analitycznych zmiennej zespolonej.

Zeby rozumiec znaczenie  oo  w danym tekscie, to
w najprostszym przypadku nalezy w samym tekscie
przeczytac co  oo  W NIM  oznacza.

Dawanie definicji, ktore sa standardowe W DANEJ
DZIEDZINIE, w kazdej publikacji z danej dziedziny,
byloby uciazliwe, niepraktyczne, byloby wrecz
marnotrawstwem.  Niestety, oznacza to, ze czytajac
tekst czesto nalezy sie orientowac w standardach
danej dziedziny. Nie zawsze to jest jasne, dochodzi
czasem do nieporozumien a nawet bledow. Na szczescie
rzadko.

Jak widzisz, Twoje "o ile" spelnia sie.  Wyrazenia
z  oo  nie sa na tyle standardowe w calej matematyce,
by moc specyficznie odpowiedziec na Twoje pytania.
Na niektore mozna zareagowac tak:  na ogol w literaturze,
gdy wystapi wyrazenie  oo*oo  to bedzie ono rownowazne
wyrazeniu  oo.  Jeszcze czesciej, nawet gdy symbol
 oo  wystapi, to wyrazenie  oo*oo  nie bedzie zdefiniowane,
nie bedzie mialo sensu.

Warto tez pamietac, ze w przeciwienstwie do geometrii
rzutowej itp. w wielu innych tekstach symbol  oo  wystepuje
nie we wlasciwym tekscie matematycznym (w jego scislej
czesci), lecz tylko w omowieniach, majacych na celu
ulatwic interpretacje, zapamietanie i przyswojenie materialu
scisle matematycznego.

Pozdrawiam,

    Wlodek


Źródło: topranking.pl/1842/92,nieskonczonosc.php


Temat: Watpliwosc z sum
Adam:


| bardzo chetnie poczytam wiecej.


pilarp:


Również dziękuję i pozdrawiam


Dziekuje za zachete. Juz kontynuuje. chicby po trochu
na raz.

Notacja  sum_k=a^b f(k)  (suma po k od a do b)
oznacza, ze mamy do czynienia z pewna funkcja

    f : {a ... b} --C  (na przyklad w C)

ktora chcemy zsumowac:

    sum_k=a^b f(k)  :=  sum(f)

Najczesciej parametry  a b  sa liczbami calkowitymi,
spelniajacymi warunek  a < b.

W literaturze ten czesto spotykany specjalny wypadek
sumowania jest zdefiniowany oddzielnie i wprost,
indukcyjnie:

(*)  sum_k=a^a f(k)  :=  f(a)

(**) sum_k=a^(b+1) f(k)  :=  sum_k=a^b f(k) + f(b+1)

Przypadek  b < a  nie jest chyba traktowany w literaturze
w jeden jedyny standardowy sposob,  wiec nalezy uwazac,
a gdy samemu stosuje symbol sumowania w takim przypadku,
to nalezy zaznaczyc, co sie przez to rozumie.  Czasem
autorzy traktuja takie sumy jako 0, a czasem jako
sumowanie w druga strone  (na przyklad moga interpretowac
 sum_k=3^1 f(k)  jako  f(3)+f(2)+f(1)).

  UWAGA. Mam nadzieje, ze nie skonfunduje. Moim zdaniem
  sumowanie powinno byc w zgodzie z calkowaniem. Tak wiec
  definiowalbym sumowanie tak:

  (wh0)  sum_k=a^a f(k) := 0

  (wh+)  sum_k=a^(b+1) f(k) :=

              sum_k=a^b f(k) + f(b)      dla  b / a

  (wh-)  sum_k=a^(b-1) f(k) :=

              sum_k=a^b f(k) - f(b)      dla  b < a

  Wtedy mielibysmy wzor:

       sum_k=a^b  +  sum_k=b^c  =  sum_k=a^c

  dla dowolnych liczb calkowitych  a b c.

  Wedlug takiej notacji mielibysmy  sum_k=3^5 f(k) = f(3)+f(4)
  oraz  sum_k=5^3 = -(f(5) + f(4)).

  Nie spodziewam sie, zeby taka sensowna propozycja zostala
  wprowadzona w zycie, bo istnieje zbyt wielka inercja
  ewolucyjna.

  Dodam, ze taka arytmetyczna operacja  sum_a^b,  jak
  w tej uwadze,  bylaby juz nieco rozna od mnogosciowej
  sum(f), ktora w przeciwienstwie do arytmetycznej jest
  slepa na strukture argumentow funkcji f, nic nie wie o
  kierunku sumowania.

 ----------

Wspomne, ze operacja sumowania w praktyce wiaze sie
z umiejetnoscia podstawiania.   Gdy mamy wyrazenie typu

    sum_k=5^14 (k^2 + k + 1)

to, jak to tlumaczylem kiedys w czasie korepetycji
i kolegom na studiach, traktujemy wyrazenie  "k^2+k+1"
jak "slonia", ktory w pewnych miejscach (na uchu, na nodze...)
ma takie kwadraciki, a w nich "k". Nalezy bezmyslnie
(automatycznie) slonia "narysowac" na nowo dla kazdego
k=5...14, tyle ze za kazdym razem we kwadraciki pierwszego
slonia nalezy wpisywac "5", w nastepnego "6", i tak
az po "14", i jeszcze pomiedzy "sloniami" nalezy
wstawic znaczki +.  To bylo tlumaczenie "praktyczne",
ktore mialo na celu zmuszenie czlowieka, zeby zechcial
czasem wykonac cos mechanicznie, bez zadnego wahania,
bezmyslnie. (Czesto w matematyce, choc raczej nie przy
sumowaniu, podstawia sie nie cos prostego, jak liczba,
lecz cale wyrazenie--wtedy dobrze jest takie wyrazenie
oblozyc nawiasami: na przyklad, gdy w "x*y*z" za "y"
podstawiamy "x+z", to ekstra nawiasy sa wrecz konieczne:
 x*(x+z)*z).

Tyle na teraz, pozdrawiam,

    Wlodek


Źródło: topranking.pl/1846/watpliwosc,z,sum.php


Temat: Dlaczego matematycy sie ograniczaja?
(Niesympatyczne, aroganckie i ignoranckie pytanie
tytułowe zawiera fałsz, ale mniejsza).

Doker <dok@wp.plnapisał(a):


Dlaczego mowi sie ze funkcja moze zwracac tylko jedna wartosc?


Co znaczy "mówi się"? mianowicie kto tak mówi?
Owszem, funkcja dla danego argumentu zwraca dokładnie
jedną wartość, ale ta wartość może być wielowartością.

Gdy chcesz zwracać więcej i mniej niż jedną wartość,
to masz relację.


Po co wymyslac specjalne pojecie korespondencji?
Skoro mozna bylo operowac na pojeciu liczb zespolonych
i funkcja moze zwracac tak liczby skladajaca sie z dwu
liczb. Liczbe ktora mozna potraktowac jako wektor 2
wymiarowy to dlaczego nie zwracac zbiorów, albo tablic,
albo macierzy?


Na jakim Ty świecie żyjesz? Matematycy, fizycy, informatycy...
tak postępują dzień w dzień, bez przerwy.


Po co ludzie komplikuja sobie rzycie


Masz chopie chody pod psem, że Ci taką wulgarność
przepuścili. To nie są moderatorzy, lecz Dokera
adoratorzy.


wymyslajac jakies smienszne
"multifunkcje" i "korespondencje"?


Masz chopie poczucie humoru. W każdym razie
jesteś śmiszny.

Wprowadza i bada się tak zwane funkcje wielowartościowe
między innymi dlatego, że niektorzy matematycy lubią
eleganckie uogólnienia (a wielu -- nieeleganckie).
Powiedzmy, że mamy twierdzenie o funkcjach ciągłych
 f : X --Y.  Naturalnym jest patrzenia na funkcję
 f : X --Y  jako na funkcję  F_f : Y --2^X,  gdzie
w przypadku funkcji ciągłych, gdy Y jest T1-przestrzenią
(kazdy {y} jest domknięty w Y dla y in Y), symbol
złożony 2^X oznacza rodzinę wszystkich podzbiorów
domkniętych w X, z odpowiedznią topologią w takim 2^X.
Oczywiście definujemy:

    F_f (y) :=  f^(-1) (y)

i tak zdefiniowane F_f : Y --2^X  jest ciągła
względem wspomnianej topologii w  2^X.

Zatem otrzymaliśmy nowe sformułowanie dawnego
twierdzenia. Tym razem o funkcjach  F_f : Y --2^X.

No więc teraz chciałoby się to twierdzenie otrzymać
dla dowolnych funkcji ciągłych  F : Y --2^X,
niekoniecznie indukowanych przez funkcje  f : X --Y.
Twierdzenie może brzemieć: jezeli funkcja ciągła
 F : Y --2^X spełnnia pewne zgrabne założenie,
to spełnia tezę starego twierdzenia dla funkcji F_f.

Jak widzisz, śmieszą Cię rzeczy, o których nie masz
zielonego pojęcia. To zabawne, a nawet śmieszne.

Pozdrawiam,

    Wlodek

PS. Wspomniane funkcje ciągłę  F : Y --2^X
występują w literaturze na ogół jako "półciągłe"
(z góry albo z dołu).


Źródło: topranking.pl/1846/dlaczego,matematycy,sie,ograniczaja.php


Powered by WordPress, © Roma 10 ełk